Линейчатые поверхности

Неразвертывающиеся или косые поверхности

Их возникновение часто обусловлено передвижением прямолинейной образующей вдоль траектории, сформированной тремя направляющими. Они конкретно определяют закон перемещения и бывают прямыми или кривыми. Есть частные случаи, когда траектория движения определяется:

• двумя направляющими и произвольной плоскостью;
• направляющими произвольной формы и плоскостью параллелизма (например, область проекции).

Направляющая плоскость замещает одну из линий траектории. С ней движущаяся прямая составляет постоянный угол.

Примеры таких объектов: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид. Их основные характеристики приведены в таблице.

Вид	Определители (наряду с плоскостью параллелизма)	Характеристика	Некоторые области применения
Цилиндроид	2 кривые направляющие	Изобразить образующие на комплексных чертежах можно так: 1.Параллельно параллелизму провести серию плоскостей. 2.Определить точки, в которых кривые направляющие цилиндроида пересекаются с плоскостями. Если за параллелизм принять одну из плоскостей уровня, что облегчает построение, то линии будут соответствовать линиям уровня.	Проектирование габаритных, большого диаметра, воздуховодов
Коноид	2 направляющие: · прямолинейная	1. Особый случай цилиндроида. 2. Прямой коноид имеет направляющую прямолинейную, расположенную под прямым углом к области параллелизма.	Гидротехническое строительство, при конструировании опор мостов
Параболоид гиперболический (синонимично понятию косой плоскости)	2 пересекающиеся прямые направляющие	1. Изображается как несколько прямых согласно закону: образующая должна пересекать направляющие и проходить параллельно установленной области параллелизма. 2. При пересечении определенными плоскостями в сечениях получаются гиперболы и параболы.	При разработке конструкций гидротехнических сооружений, дорог, откосов, шлюзов, каналов, крыльев ветряков

Линейчатые поверхности представляют собой математические абстракции, благодаря которым можно получить представление о свойствах предметов.

Их моделирование, математическое, геометрическое описание позволяют проектировать различные тела и конструкции в машиностроении, архитектуре. Современные программы компьютерного проектирования, например КОМПАС 3D, облегчают и автоматизируют процесс моделирования таких объектов.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Линейчатая поверхность – второе – порядок

Линейчатая поверхность второго порядка в общем случае вполне определяется тремя прямыми; поэтому возьмем сначала в качестве исходной поверхности линейчатую поверхность. Заданная прямолинейная образующая и две близких образующих определяют квадрику, имеющую предел L, когда две последние образующие стремятся к заданной. Вторая система прямолинейных образующих квадрики L состоит из прямых, встречающих три бесконечно близких образующих исходной поверхности.  

Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостныи гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид.  

Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид.  

Возвращаясь к вопросу об образующих линейчатой поверхности второго порядка, можем показать, что любые две образующие одной и той же серии могут быть приняты за оси проективных пучков плоскостей, определяющих данную линейчатую поверхность.  

С точки зрения аффинных свойств линейчатых поверхностей второго порядка последние могут быть разбиты на два класса. Те поверхности, для которых несобственная плоскость является секущей, называются однополости ы ми гиперболоидами ( черт. Те же поверхности, которые касаются несобственной плоскости, называются гиперболическими параболоидами ( черт.  

Таким образом, получили известное свойство линейчатых поверхностей второго порядка: линейчатая поверхность второго порядка содержит два семейства действительных прямолинейных образующих, при этом образующие одного семейства между собой i e пересекаются, но каждая образующая одного семейства пересекает нее обра зующие другого семейства. Последняя часть уторждсния справедлива ночо-му, чти Р плоскости 1 каждая прям.  

Первые три варианта возможны лишь при пересечении линейчатых поверхностей второго порядка, так как в состав их линии пересечения входят прямые. Первый вариант получается, если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют одну общую образующую.  

Благодаря большому принципу двойственности возможно изучение так называемых линейчатых поверхностей второго порядка посредством изучения плоских пучков второго порядка. Действительно, пучки второго порядка построены на проективных точечных рядах. Но каждый ряд точек на прямой соответствует пучку плоскостей. Соответственные плоскости двух проективных пучков пересекаются по прямым, которые и являются образующими линейчатых поверхностей.  

Но оказывается, что кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот факт на взгляд не очевиден, однако легко доказывается алгебраически.  

Но оказывается, что кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот факт на взгляд не очевиден, однако легко доказывается алгебраически.  

Кривая с3 может быть получена в результате пересечения двух линейчатых поверхностей второго порядка с общей образующей, если вдоль этой образующей они не касаются.  

Мы уже видели, что произвольная плоскость со пересекает линейчатую поверхность второго порядка по кривой второго порядка. Следовательно, кривая второго порядка распадается в этом случае на пару прямых. Плоскость со называется в этом случае касательной плоскостью.  

Следовательно, имеем два проективных пучка плоскостей, которые образуют линейчатую поверхность второго порядка.  

Таким образом, получили известное свойство линейчатых поверхностей второго порядка: линейчатая поверхность второго порядка содержит два семейства действительных прямолинейных образующих, при этом образующие одного семейства между собой i e пересекаются, но каждая образующая одного семейства пересекает нее обра зующие другого семейства. Последняя часть уторждсния справедлива ночо-му, чти Р плоскости 1 каждая прям.  

Однако это не означает, что однополостными гиперболоидами и гиперболическими параболоидами исчерпываются все линейчатые поверхности второго порядка. Линейчатые поверхности второго порядка, не являющиеся ни гиперболоидами, ни параболоидами, мы изучим в следующих пунктах.  

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

1. Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
2. Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
3. Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

1. Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
2. Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π₁ произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
3. Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π₃. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ₁ и откладываем его по соответствующей линии связи на π₃. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

Линейчатые и нелинейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью прямой линии. Нелинейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью кривой линии. Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Поверхности с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности. Поверхности с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.

Линейчатые развертываемые поверхности:

1. Конические поверхности задаются движением прямой линии l, проходящей через неподвижную точку М, по некоторой направляющей кривой линии а. (рис 128)

2. Цилиндрические поверхности задаются движением прямой, параллельной некоторому направлению, по заданной направляющей кривой. (рис 129)

3.

Поверхность с ребром возвратаа

Линейчатые неразвертываемые поверхности:

1) Цилиндроидобразован движением прямой, параллельной заданной плоскости параллелизма α, по двум пространственным кривым a и b.

2) Коноид образован движением прямой по одной прямолинейной направляющей n, по другой криволинейной направляющей m, оставаясь параллельной некоторой плоскости параллелизма α || π₁.

3) Гиперболический параболоид, или косая плоскость, задается двумя скрещивающимися прямыми направляющими АВ, CD и плоскостью параллелизма α(απ₁).

4) Однополостный гиперболоид образуется движением прямолинейной образующей l по трем прямолинейным скрещивающимся направляющим а, b, c.

5) Косой цилиндр с тремя направляющими образуется движением прямолинейной образующей по трем направляющим, одна из которых обязательно кривая.

Нелинейчатые неразвертываемые поверхности:

1) Эллипсоид трехосный образован движением переменного эллипса вдоль одной из трех его осей Х, Y, Z . Образующие эллипсы подобны.

2) Эллиптический параболоид образуется движением деформирующегося эллипса по двум направляющим параболам m и n

3) Двуполостный гиперболоид образуется движением изменяющегося эллипса по направляющей гиперболе вдоль действительной оси.

18. Точки и линии на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она расположена на линии, принадлежащей поверхности. На поверхностях вращения в качестве таких линий удобно использовать параллели. Если на поверхности вращения (рис. 8.9) дана проекция М₂, то для нахождения параллели, которой принадлежит точка М, проводим через М фронтально-проецирующую плоскость s (М₂ ϵ s), такую что s ⊥ m. Тогда линия пересечения кривой поверхности с плоскостью s и даст искомую параллель. Радиус параллели равен расстоянию от оси вращения m₁ до точки поверхности 1₁. Этим радиусом проводим окружность с центром в точке m₁ (горизонтальной проекции оси вращения) и получаем горизонтальную проекцию параллели. На ней находим горизонтальные проекции точки М: М₁ — на видимой стороне кривой поверхности, а М’₁ — на невидимой.

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности. Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10654 —

Касательные плоскости, складывающиеся поверхности [ править ]

Для нижеследующих соображений предполагается, что существует любая необходимая производная.

Для определения вектора нормали в точке нужны частные производные представления  :
x(u,v)=c(u)+vr(u){\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}

xu=c˙(u)+vr˙(u) {\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\ } ,xv=r(u){\displaystyle \quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)}

Следовательно, вектор нормали равен

n=xu×xv=c˙×r+v(r˙×r) .{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .}

Поскольку (Смешанное произведение с двумя равными векторами всегда равно 0!), Вектор является касательным вектором в любой точке . Касательные плоскости вдоль этой линии все одинаковые, если они кратны . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в плоскости, т.е. они линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно проверить с помощью определителя этих векторов:
n⋅r={\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}r(u){\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}x(u,v){\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}r˙×r{\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }c˙×r{\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }c˙,r˙,r {\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \ }

Касательные плоскости вдоль прямой равны, еслиx(u0,v)=c(u0)+vr(u0){\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})}

det(c˙(u),r˙(u),r(u))= .{\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r} (u_{0}))\;=\;0\ .}

Важность этого определяющего условия показывает следующее утверждение:

Линейчатая поверхность является развертывающейся в плоскость, если для любой точки гауссова кривизна равна нулем. Это как раз тот случай, еслиx(u,v)=c(u)+vr(u){\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}

det(c˙,r˙,r)={\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\quad }

в любой момент верно.

Образующие любой линейчатой ​​поверхности сливаются с одним семейством ее асимптотических прямых. Для развертывающихся поверхностей они также образуют одно семейство линий кривизны . Можно показать, что любая развертывающаяся поверхность представляет собой конус, цилиндр или поверхность, образованную всеми касательными к пространственной кривой.

Линейчатые поверхности в архитектуре [ править ]

Поверхности с двойной линией – это вдохновение для изогнутых гиперболоидных структур, которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:

• Гиперболические параболоиды, например, двускатные крыши .
• Гиперболоиды одного листа, такие как градирни и некоторые урны для мусора .

• Охлаждение гиперболические башни на электростанции Didcot , Великобритания; поверхность может быть двояко линейчатой.

• Дважды управляемая водонапорная башня с тороидальным резервуаром, работы Яна Богуславского в Цехануве , Польша.

• Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной линией.

• Гиперболоидная водонапорная башня 1896 года в Нижнем Новгороде .

• Сетчатая оболочка из Шуховской башни в Москве, чьи участки вдвойне правила.

• Винтовая лестница с линейками внутри Торраццо Кремоны .

• Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) являются линейчатыми поверхностями.

• Гиперболический параболоид крыша железнодорожной станции Варшава Ochota в Варшаве , Польша.

• Линейчатая коническую шляпу .

• Гофрированная черепица, разделенная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальными в перпендикулярном направлении.

• Устройство плоской поверхности путем разметки ( стяжки ) бетона.

Применение и история разворачивающихся поверхностей [ править ]

Развивающееся соединение двух эллипсов и его развитие

Детерминантное условие для развертывающихся поверхностей используется для определения численно складываемых связей между пространственными кривыми (директрисами). На схеме показана развивающаяся связь между двумя эллипсами, находящимися в разных плоскостях (одна горизонтальная, другая вертикальная), и ее развитие.

Впечатление об использовании развертываемых поверхностей в автоматизированном проектировании ( САПР ) дается в документе « Интерактивное проектирование развертываемых поверхностей»

Историческое исследование по развёртывающимся можно найти в развертывающейся поверхности: их история и применение

Линейчатые поверхности

Одним из объектов трехмерного пространства являются поверхности. Это непрерывное, бесконечное множество точек, которые имеют определенную, строго установленную, зависимость между координатами. Основными инструментами трехмерного моделирования служат различные способы их отражения.

В инженерной графике, начертательной геометрии есть метод, когда поверхность рассматривается как комплекс последовательных расположений линии, которая, подчиняясь определенному закону, перемещается в пространстве. Это кинематический способ, благодаря которому образуются геометрические объекты. Примером выступают технологические процессы, связанные с обработкой материала режущим инструментом. Плоскость получаемого изделия рассматривается как множество линий, эквивалентных (конгруэнтных) форме профиля резца режущего инструмента.

Для описания процесса образования используются два основных термина:

1. Образующая – это подвижная линия. Она, перемещаясь, может иметь постоянную форму. Если это кривая — получается нелинейчатая поверхность. Она относится к I классу. Когда образующая представлена прямой, это ведет к формированию линейчатой поверхности (II класс).
2. Направляющая – это неподвижная линия или плоскость, по ней движется образующая. Однозначно определить рассматриваемый объект возможно тремя линиями, задающими траекторию движения. Но, должно выполняться требование: две из трех линий задаются произвольно, третья – должна быть внутри конгруэнции, которая определяется уже выбранными двумя.

Такое перемещение не является хаотичным, оно подчиняется определенному закону. Законом может выступать перемещение вдоль неподвижных линий. Иными словами, образующая все время занимает конкретное установленное положение.

Определены следующие два вида линейчатых поверхностей:

• развертывающаяся;
• неразвертывающаяся (косая).

В пределах класса эти объекты, образованные перемещением прямой линии, подразделяются на:

1. Группы. Классификация на группы зависит от внешних условий движения образующей, то есть от количества направляющих.
2. Виды. Деление на виды по каждой группе определяется внутренними характеристиками движения – формой и относительным положением траекторий, по которым движется прямая.

Их образование может происходить вращением или поступательным передвижением образующей прямой. Цилиндры, конусы – примеры геометрических тел, образованных пересечением линейчатой поверхности вращения с областью, называемой основанием. Гранные объекты формируются поступательным передвижением образующей вдоль ломанных траекторий. Так образуются призмы и пирамиды.

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

1. Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
2. Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое,  (σ=SM∩m).

1. Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
2. Построим горизонтальные проекции этих объектов.
3. Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

1. Построим её горизонтальную проекцию.
2. Соединим точки M₁N₁, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
3. Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
4. На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
5. Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

Интерактивная модель Пересечение прямой с конической поверхностью

Развертывающиеся поверхности

Эти объекты важны для листопрокатного производства, текстильной промышленности, авиа- и автомобилестроения. Представление о них основывается на допущении, что они обладают гибкостью, но они нерастяжимы и несжимаемы. Под развертывающимися понимают области, которые, изгибая, можно совмещать с плоскостью без порывов, перегибов и складок. Таким образом получается развертка. Это свойство характерно для многогранных объектов и объектов, которые имеют ребра возврата.

Ребро возврата – это направляющая кривая в пространстве, которую касается прямая при передвижении. В системе отсчета развертывающаяся линейчатая поверхность определяется ребром возврата. Указанными характеристиками обладают: торс, а также его частные случаи: объекты, имеющие форму конуса, цилиндра, призмы, пирамиды.

Торс

Торсы используются при проектировании деталей и узлов в машиностроении. Образование линейчатых поверхностей, имеющих вид торса, происходит при передвижении образующей, которая во всех позициях проходит по касательной относительно ребра возврата. Оно, совместно с движущейся прямой, определяет торс в пространстве. Этот геометрический объект составляют две полости, граничащие по ребру возврата.

Цилиндрическая

Это особый вид торса. При этом ребро возврата переродилось в несобственную точку, удаленную на бесконечное расстояние. Построенная прямая образующая движется параллельно самой себе по установленной кривой. Чтобы определить цилиндрическую поверхность надо задаться: вектором перемещения и криволинейной траекторией движения.

Коническая

В ней ребро возврата преобразовалось в собственную точку, через которую, по определенной кривой, проходит образующая. Эта точка служит вершиной конуса. Такой объект может складываться из двух полостей. Для его определения задаются указанными точкой и кривой.

Призматическая и пирамидальная

Призматическая отличается от цилиндрической тем, что движение прямой происходит не по кривой траектории, а по ломанной. Ребро возврата преобразовалось в несобственную точку, которая находится на бесконечном расстоянии.

Пирамидальная и конусная различаются формой траектории движения прямой. У конусной — траектория движения криволинейная, у пирамидальной – ломанная.

У перечисленных видов две смежные прямые могут:

• пересекаться (торс, коническая, пирамидальная);
• быть параллельными (цилиндрическая, призматическая).

Чтобы получить уравнение поверхности развертывающейся надо решить систему двух уравнений:

1. уравнения образующей.
2. уравнения направляющей.

Рассмотренные объекты могут быть замкнутыми, если траектория имеет форму окружности или замкнутого многоугольника.

7.2. Поверхности вращения

Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).

Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.

Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.

Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения

Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).

Наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом.

Индивидуальные доказательства

1. Д.Б. Фукс, Серж Табачников: Неплоских трехлинейчатых поверхностей не бывает . В кн . : Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике . Американское математическое общество, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1 , стр. 228.
2. Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , стр. 250
3. В. Вундерлих: О раскручивающейся ленте Мебиуса , ежемесячные книги по математике 66, 1962, стр. 276–289.
4. В. Кюнель: Differentialgeometrie ., Стр 58-60
5. Г. Фарин: с. 380
6. В. Кюнель: Differentialgeometrie , Фивег, 2003, ISBN 3-528-17289-4 , стр 58..
7. MP do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322850722 , стр. 145.
8. W. Haack : Elementare Differentialgeometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509 , стр. 32